Răspuns:
vezi mai jos!
Explicație pas cu pas:
Asocietivitate:
vom demonstra ca
x*(y*z) = (x*y)*z, ∀x,y,z∈R
M1 = x*(y*z) = x*(yz-y-z+2) = x(yz-y-z+2) - x - (yz-y-z+2) + 2
M2 = (x*y)*z = (xy-x-y+2)*z = z(xy-x-y+2) - (xy-x-y+2) - z + 2
M1 - M2 = xyz -xy -xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 -
-xyz + xz + yz - 2z + xy - x - y + 2 + z - 2 = 0, deci avem
M1 = M2, de unde rezulta asocietivitatea legii de compozitie interna pe R.
Q.E.D.
Element neutru:
∀x∈R, x*e=e*x=x
x*e = xe - x - e + 2 = x (1)
xe - e = x+x-2
e(x-1) = 2x-2
e(x-1) = 2(x-1) I : x-1, x≠1
e = 2.
Cercetam si pentru cazul x=1:
introducem valoarea x=1 in relatia notata cu (1):
e - 1 - e + 2 = 1, 1=1, deci se verifica si pentru x=1, deci
se verifica ∀x∈R faptul ca
e = 2.
