Inegalitatea mediilor dintre media aritmetică si cea geometrică.
Fie [tex]\displaystyle\\a_{i}[/tex] si [tex]\displaystyle\\b_{i}[/tex] numere reale strict pozitive, [tex]\displaystyle\\(\forall)i=\overline{1,n}.[/tex]
Atunci, avem : [tex]\displaystyle\\\boxed{\frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n}\geq \sqrt[n]{\Pi_{i=1}^{n} a_i},~(\forall) n\in\mathbb{N}}.[/tex]
În cazul nostru, vom folosi inegalitatea pentru n=2, și se scrie astfel:
[tex]\boxed{\frac{a_1+a_2}{2}\geq \sqrt{a_1a_2},~a_1,~a_2>0}~.[/tex]
Așadar, vom înmulți inegalitatea cu 2, și după gruparea termenilor în mod convenabil, vom obține:
[tex]\displaystyle\\\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\geq x+y+z \bigg{|}\cdot 2 \Longleftrightarrow\\\bigg(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\bigg)+\bigg(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\bigg)+\bigg(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\bigg)\geq\\\\\underbrace{{2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot \frac{zx}{y}}}}_{2x}+\underbrace{2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}}_{2y}+\underbrace{2\sqrt{\frac{yz}{x}\cdot\frac{zx}{y}}}_{2z}=2x+2y+2z\\[/tex], ceea ce trebuia eventual demonstrat.
