Răspuns:
a) 2y² + 6y + 5 = 0
b) 2y² - 17y + 30 = 0
c) 10y² - 42y + 49 = 0
d) 125y² - 36y + 8 = 0
e) 125y² - 28y + 20 = 0
Explicație pas cu pas:
Din lecția Relațiile lui Viete folosim formula de creare a unei ecuații de gradul II când i se cunosc soluțiile x₁ și x₂:
x² - Sx + P = 0, unde S = x₁ + x₂ și P = x₁x₂
4x² - 12x + 10 = 0 | :4
x² - 3x + 10/4 = 0
x² - 3x + 5/2 = 0
⇒ x₁ + x₂ = 3 și x₁x₂ = 5/2
a)
S = y₁ + y₂ = x₁ - 3 + x₂ - 3 = x₁ + x₂ - 6 = 3 - 6 = -3
P = y₁y₂ = (x₁ - 3) · (x₂ - 3) = x₁x₂ - 3x₁ - 3x₂ + 9 = 5/2 - 3 · 3 + 9 = 5/2
ecuația lui y:
y² - Sy + P = y² + 3y + 5/2 = 0
⇔ 2y² + 6y + 5 = 0
b)
S = y₁ + y₂ = x₁x₂ + 2(x₁ + x₂) = 5/2 + 2 · 3 = (12 + 5) / 2 = 17/2
P = y₁y₂ = x₁x₂ · 2(x₁ + x₂) = 2 · 5/2 · 3 = 15
ecuația lui y:
y² - Sy + P = y² - 17/2 + 15 = 0
⇔ 2y² - 17y + 30 = 0
c)
[tex]S = y_{1} + y_{2} = x_{1} + x_{2} +\frac{1}{x_{1}} +\frac{1}{x_{2}}= 3+\frac{ x_{1} + x_{2}}{ x_{1} * x_{2}} =3+\frac{3}{\frac{5}{2}} =3+\frac{6}{5} =\frac{21}{5}[/tex]
[tex]P=y_{1} * y_{2} = (x_{1}+\frac{1}{x_{2}} )* ( x_{2} +\frac{1}{x_{1}})= x_{1} * x_{2} +1+1+\frac{1}{x_{1}* x_{2}}=\frac{5}{2} +2+\frac{2}{5} =\frac{25+20+4}{10} =\frac{49}{10}[/tex]
ecuația lui y:
y² - Sy + P = y² - 21/5 + 49/10 = 0
⇔ 10y² - 42y + 49 = 0
d)
S = y₁ + y₂ = 1/x₁³ + 1/x₂³ = (x₁³ + x₂³) / x₁³·x₂³
vom folosi formula:
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) pentru a afla valoarea lui (x₁³ + x₂³)
(x₁ + x₂)³ = x₁³ + x₂³ + 3 · x₁x₂ · (x₁ + x₂)
3³ = (x₁³ + x₂³) + 3 · 5/2 · 3
27 = (x₁³ + x₂³) + 45/2
x₁³ + x₂³ = 27 - 45/2 = (54 - 45) / 2 = 9/2
S = (9/2) / (5/2)³ = (9/2) · (8/125) = 36/125
P = y₁y₂ = 1 / (x₁³·x₂³) = 1 / (5/2)³ = 8/125
ecuația lui y:
y² - Sy + P = y² - 36/125 + 8/125 = 0
⇔ 125y² - 36y + 8 = 0
e)
S = y₁ + y₂ = x₁/x₂³ + x₂/x₁³ = (x₁⁴ + x₂⁴) / x₁³·x₂³
vom folosi formula:
(a + b)⁴ = a⁴ + b⁴ + 6a²b² + 4ab(a² + b²) = a⁴ + b⁴ + 6a²b² + 4ab[(a + b)² - 2ab] pentru a afla valoarea lui (x₁⁴ + x₂⁴)
(x₁ + x₂)⁴ = x₁⁴ + x₂⁴ + 6x₁²x₂² + 4x₁x₂[(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂]
3⁴ = (x₁⁴ + x₂⁴) + 6 · (5/2)² + 4 · 5/2 (3² - 2 · 5/2)
81 = (x₁⁴ + x₂⁴) + 6 · 25/4 + 10 · 4
81 = (x₁⁴ + x₂⁴) + 75/2 + 40
x₁⁴ + x₂⁴ = 81 - 75/2 - 40
x₁⁴ + x₂⁴ = (162 - 75 - 80) / 2 = 7/2
S = (7/2) / (5/2)³ = (7/2) · (8/125) = 28/125
P = y₁y₂ = 1 / (x₁²·x₂²) = 4/25
ecuația lui y:
y² - Sy + P = y² - 28/125 + 4/25 = 0
⇔ 125y² - 28y + 20 = 0
