Explicație pas cu pas:
sirurile divergente sunt cele (1) nemonotone ȘI (2) nemarginite .
(1) Fie numarul n€N*.
n este nr impar ,iar n+1 e nr par
si invers n un nr par iar n+1 este nr impar
Definitia sirurilor nemonotone:
Fie sirurile X(n+1) si Xn , aceste siruri vor fi considerate nemonotone daca pentru orice n€N*, X(n+1)>Xn si in acelasi timp(pentru valori distincte) X(n+1)<Xn.
cazul : An=1+(-1)^n este nemonoton deoarece atat sirul An si A(n+1)=1+(-1)^(n+1) pentru anumite valori elementare distincte inegalitatea nu este una fixata.
Adica fie An=0 si A(n+1)=2 sau An=2 si A(n+1)=0.
La fel se procedeaza si cu cazul b).
Fie An=1 si A(n+1) =0(r/v invers) sau An=-1 si A(n+1)=0 (r/v invers) depinde de cum e n par sau impar, ca urmare din acestea rezultate p/u orice n€N* niciodata n-o sa existe o inegalitate fixata(din definitie monotoniei).
Pentru cazul c) sirul este monoton crescator.
d/ce X(n+1)>Xn ,P/u orice n€N
adica se obtine (n+1)²>n² .
(2)
P/u nemarginire sunt cazurile (a,+inf) ,(-inf,a)
a) Fie n=1 => a1=0 ;
deci lim (a1)=1+inf=+inf avem an€(0,+inf)deci el
n->+inf
este nemarginit.
b)n=2=>a2=0
fie x=1/n-->0 cand n-->inf
lim pi/2y=pi/0=+inf (am folosit lim(sinx/x)=1 ,x->0)
x->0 deci an€(0,+inf) deci iarasi nemarginire
c) n=1=> a1=1/2 iar lim an =+inf cand n->inf
an€(1/2,+inf) este iarasi o nemarginire.
Concluzie :
Pentru a) si b) cazul (1) si (2) este verificat ,deci divergent
pentru c) cazul (1) nu este verficat , dar este verificat (2) , prin urmare an divergent.
Bafta!!!
