[tex] \: \frac{25}{x {}^{2} + {y}^{2} } > 1[/tex]
[tex]25 > {x}^{2} + {y}^{2} [/tex]
x si y sunt numere naturale, iar suma patratelor lor perfecte este sub 25. Le gasesti usor dand valori pentru x si pentru y. Atentie: ele nu pot fi 0 simultan pentru ca fractia are suma x^2+y^2 la numitor si numitorul unei fractii e tot timpul diferit de zero.
Altfel, te poti gandi la 0 si 1, pentru ca 0^2+1^2<25 <=> 1<25 (A) sau la 1 si 0
De asemenea, x=1 si y=1 e o solutie.
Apoi x=1, y=2 respectiv x=2, y=1
Perechile (2, 3), (3,2), (2,0), (0,2), (1,3), (3,1) sunt bune de asemenea.
Cand te opresti din a cauta solutii? Te gandesti cand doua patrate perfecte, adunate, dau cel 25 sau mai mult decat 25. Deci suma e 25 cand unul e 9 si unul e 16, adica la perechea (3,4) sau la (4,3) te opresti.
Pe langa ce am enumerat, mai poti avea (3,3), (2,2), (4,0), (0,4), (1,4),(4,1),(2,4),(4,2)
Verificand o sa vezi ca toate sunt solutii. Chiar daca sunt multe si pare greu sa le gasesti oe toate, te asigur ca nu o sa pierzi niciuna daca tii minte sa le inversezi (asa cum x poate fi 1 si y 0,asa si x poate fi 0 si y 1) si sa cresti cu 1 succesiv pana ajungi la doua nr care ridicate la patrat si apoi adunate dau 25.
Multimea S de solutii e formata din toate perechile astea pe care le-am enumerat.
La b)
Fractia e un numar natural doar daca numitorul divide numaratorul si numitorul e numar natural de asemenea.
Numitorul e numar natural? Da, pentru ca doua numere ridicate la patrat sunt tot timpul mai mare ca zero si suma lor da ceva mai mare ca zero, fara doar si poate.
De ce numitorul sa divida numaratorul? Numar natural inseamna numar care nu e fractie, deci ca sa scap de fractie trebuie sa am jos un divizor al numaratorului. Divizorii lui 25 sunt 1, 5, 25
Caz 1 : daca x^2+y^2=1 rezulta x=0 si y=1 sau x=1 si y=0
Caz 2 : daca x^2+y^2=5 rezulta x, y egal multimea vida pentru nu exista doua numere a caror suma de patrate sa dea 5
Caz 3 : daca x^2+y^2=25 rezulta x=3,y=4 sau x=4,y=3 (cum am zis mai sus)
Sper ca e destul de clar si explicita rezolvarea mea si ca iti va fi de folos.
