Răspuns:) Pentru n = 1 egalitatea devine 1=1, prin urmare P(1) este adevarata. Presupunem ca egalitatea din enunt este adevarata, adica are loc egalitatea
,
si urmeaza sa verificam daca P(n + 1), adica
este justa. Cum (se tine seama de egalitatea din enunt)
se obtine
adica P(n + 1) este afirmatie justa.
Asadar, conform principiului inductiei matematice egalitatea din enunt este justa pentru orice n natural.
Nota 2. Mentionam ca acest exemplu poate fi rezolvat si fara utilizarea inductiei matematice. Intr-adevar, suma 1 + 2 + 3 + ... + n reprezinta suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice cu primul termen a1 = 1 si ratia d = 1. In baza formulei cunoscute se obtine
b) Pentru n = 1 egalitatea devine 2·1 - 1 = 12 sau 1=1, astfel P(1) este justa. Presupunem justa egalitatea
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2
si urmeaza sa verificam daca are loc P(n + 1):
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n + 1)2
sau
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + 1)2.
Se tine seama de egalitatea din enunt si se obtine
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2.
Asadar P(n + 1) este adevarata si, prin urmare, egalitatea din enunt este adevarata.
Nota 3. Similar exemplului precedent, se rezolva si fara a aplica metoda inductiei matematice.
c) Pentru n = 1 egalitatea este justa 1=1. Se presupune justa egalitatea
si se arata ca
adica P(n) adevarata implica P(n + 1) adevarata. In adevar
si cum 2n2 + 7n + 6 = (2n + 3)(n + 2) se obtine
si, prin urmare, egalitatea este adevarata.
d) Pentru n = 1 egalitatea este justa: 1=1. Se presupune ca are loc egalitatea
si se arata ca are loc egalitatea
In adevar, tinand seama de ipoteza
e) Propozitia P(1) este justa 2=2. Se presupune ca egalitatea
este adevarata si se arata ca ea implica egalitatea
In adevar
Asadar, egalitatea enuntata este justa pentru orice n natural.
f) P(1) este adevarata: 1/3 = 1/3. Se presupune ca are loc P(n):
si se arata ca aceasta egalitate implica egalitatea
In adevar, tinand seama de justetea afirmatiei P(n), se obtine
Prin urmare, egalitatea este demonstrata
Explicație pas cu pas: