Salut,
Prin natura ei, o funcție de gradul I este fie crescătoare, sau descrescătoare, deci este întotdeauna monotonă (nu crește, apoi descrește, sau este constantă pentru anumite valori din domeniu, nu !).
Dacă este monotonă, atunci este clar injectivă.
Să vedem pentru exemplul dat:
f(x) = 2x + 3.
Această funcție are pe 2 ca pantă (sau coeficient al lui x), 2 > 0, deci funcția este crescătoare. Dacă acel coeficient ar fi negativ, atunci funcția ar fi descrescătoare.
Fie x₁ < x₂, unde ambele valori fac parte din domeniul de definiție.
Înmulțim această inegalitate cu 2 și avem că:
2x₁ < 2x₂, adunăm 3 la această nouă inegalitate:
2x₁ + 3 < 2x₂ + 3 ⇔ f(x₁) < f(x₂), deci funcția este crescătoare (cu cât valorile lui x sunt mai mari, adică cresc de la x₁ la x₂), cu atât valorile funcției cresc de la f(x₁) la f(x₂)).
Dacă este crescătoare, atunci înseamnă imediat că este monotonă și dacă este monotonă, atunci este injectivă.
Similar s-ar demonstra și dacă funcția ar fi (de exemplu) g(x) = --2x + 3, am obține că funcția este descrescătoare, deci monotonă, deci injectivă.
Am putea fi tentați de situația când coeficientul lui x este egal cu 0, atunci funcția ar fi una constantă, și dacă este constantă, atunci nu este injectivă.
Da, dar să nu cădem în capcană, o funcție constantă nu este o funcție de gradul I, ci este una de gradul 0, nu este același lucru. Anularea acelui coeficient duce la degenerarea funcției de gradul I într-una de grad nul, care este cu totul o altă funcție. Nu cădem în această capcană, bine ?
Ai înțeles această pledoarie ? :-))).
Green eyes.
