Răspuns:
23. In Δ ABC, echilateral, mediana este si bisectoare, deci ∡EBC = ∡DCB = ∡EBA = ∡DCA = 30°, deci ∡BCE = ∡DCB + ∡DCE = 30° + 90° = 120°, ceea ce inseamna ca in ΔBCE ∡BEC = 180° - ∡EBC - ∡BCE = 180° - 30° - 120° = 30°,
dcei ΔBCE este isoscel, cu BC = CE. Asta inseamna ca ∡RCE din triunghiul dreptunghic RCE este 60°, deci AB ║CE. In acest caz, ΔRCE = ΔRBA (dreptunghice, cu 2 unghiuri ascutite egale si cu doua catete egale, AR = RC), deci si RB = RE, ceea ce implica faptul ca si ΔARE = ΔBRC (catete egale), deci figura ABCE este un romb cu AE║BC. Identic se demonstreaza ca si ACBD este un romb. Deoarece BC este comun, cele 2 romburi au laturile si unghiurile egale, iar AD║BC║AE semnifica faptul ca D, A si E sunt coliniare (apartin a doua drepte paralele care au un punct comun, deci confundate.)
25. Daca AM = AN, ΔAMN este isoscel cu un unghi de 60°, deci este echilateral. In acest caz el este asemenea cu ΔABC si cele doua sunt in pozitia lui Thales, deci MN║BC.
