În figura 2 este reprezentat un cerc, de diametru AB=8 cm și punctul T, situat pe cerc, diferit de punctele A și B. Punctul C este intersecția tangentei la cerc în punctul T cu tangenta la cerc în punctul A și punctul D este intersecția tangentei la cerc în punctul T cu tangenta la cerc în punctul B. Lungimea segmentului AC este de 2 cm.

c)Dreptele AT și OC se intersectează în punctul M și dreptele BT și OD se intersectează în punctul N. Demonstrați că aria patrulaterului MONT este egală cu 6,4 cm pătrați.

AB=8, ⇒AO=4cm. AC=2cm=CT. ⇒ΔACT isoscel cu baza AT. AO=TO, deci ΔATO isoscel cu baza AT. ⇒OM⊥AT, CM⊥AT, dar prin M trece o unică perpendiculară pe AT, deci C,M,O coliniare.

Din ΔACO, OC²=AC²+AO²=2²+4²=20=4·5, deci OC=2√5. Din T.Catetei, AC²=OC·CM, ⇒ 2²=2√5·CM, ⇒CM=(2√5)/5=0,4√5. Atunci OM=1,6√5cm.

Din T.Înălțimei, ⇒ AM²=CM·OM=0,4√5·1,6√5=3,2=16·0,2=16·(1/5), deci AM=4/√5=4√5/5=0,8√5cm=MT. Deoarece AT⊥TB și OM⊥AT, ⇒TB║OM și ∡OMT=∡MTN=∡TNO=90°, ⇒MONT este dreptunghi. Atunci, Aria(MONT)=OM·MT=1,6√5·0,8√5=1,6·5·0,8=8·0,8=6,4cm²