Folosesti formula
[tex]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})[/tex],
care este valabila pentru orice numere reale a,b si pentru orice numar natural, n.
Inlocuim in formula pe a cu 9, pe b cu 1 si in prima paranteza se obtine8.
Deci [tex]9^n-1=8\cdot(...................)\vdots8[/tex] .
Altfel: Prin inductie
Fie P(n): "[tex]9^n-1\vdots8[/tex]"
P(0): "0 se divide la 8" - Adevarata
Presupunem ca P(k) este adevarata, adica [tex]9^k-1\vdots8[/tex] (ipoteza de inductie)
Trebuie aratat ca p(k+1) este adevarata, adica [tex]9^{k+1}-1\vdots8[/tex]
Vom folosi ipoteza de inductie:
[tex]9^{k+1}-1=9\cdot9^k-1=(8+1)\cdot9^k-1=8\cdot9^k+(9^k-1)\vdots8[/tex]
