35. a)
Notam piciorul mediatoarei pe AC cu E , si piciorul mediatoarei pe AB cu D
Comparam Δ ANE si CNE : si avem cazul U.L.U.:
NE-latura comuna, AE=EC=4 , <AEN=<CEN=90°
=> Δ ANE ≡ ΔCNE => AN=NC
Comparam ΔBMD cu Δ AMD si avem cazul U.L.U.:
DM-latura comuna, AD=DB=3 , <ADM=<BDM=90°
=> ΔBMD ≡ Δ AMD => AM=BM
=> perimetrul ΔANM=AM+MN+NA=BM+MN+NC= 12 cm
b)
Cf Teoremei: Într-un triunghi mediatoarele celor trei laturi sunt concurente iar punctul de intersecţie (P in cazul nostru) se numeşe centrul cercului circumscris triunghiului =>BP=PC=AP=raza
.=>Comparam ΔAPN cu ΔCNP:
AP=PC=raza, AN=NC (demonstrat anterior), PN =latura comuna, deci
ΔAPN ≡ ΔCNP, => <PAN=<NCP
.=>Comparam ΔAPM cu ΔBMP:
AP=PB=raza, AM=MB (demonstrat anterior), PM =latura comuna, deci
ΔAPM ≡ ΔBMP =><MAP=MBP
dar ΔPBC este isoscel pentru ca PB=BC=raza
deci <PCB=<PBC sau <PCN=<PBM=<MAP=<PAN
=> AP=bisectoarea unghiului MAN
