Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Notam cu P(n): 1²+3²+5²+...+(2n-1)²=n·(4n²-1)/3
Etapa verificarii (pentru n=1):
P(1): 1²=1·(4·1²-1)/3 ⇔ 1=3/3 este adevarata
Etapa demontratiei:
Presupunem ca propozitia P(k) este adevarata, adica:
P(k): 1²+3²+5²+...+(2k-1)²=k·(4k²-1)/3 este adevarata
Demonstram ca propozitia P(k+1) este adevarata, adica:
P(k+1): 1²+3²+5²+...+[2(k+1)-1]²=(k+1)·[4(k+1)²-1]/3 este adevarata
Demonstratie:
1²+3²+5²+...+[2(k+1)-1]²=1²+3²+5²+...+(2k-1)²+[2(k+1)-1]²=
=k·(4k²-1)/3+[2(k+1)-1]²=k·(4k²-1)/3+(2k+1)²=k·(2k-1)·(2k+1)/3+3·(2k+1)²/3=
=[k·(2k-1)+3·(2k+1)]·(2k+1)/3=(2k²-k+6k+3)·(2k+1)/3=(2k²+5k+3)·(2k+1)/3=
=(2k²+3k+2k+3)·(2k+1)/3=[k·(2k+3)+(2k+3)]·(2k+1)/3=(k+1)·(2k+3)·(2k+1)/3=
=(k+1)·(4k²+2k+6k+3)/3=(k+1)·(4k²+8k+4-1)/3=(k+1)·[4·(k²+2k+1)-1]/3=
=(k+1)·[4·(k+1)²-1]/3
Deci P(k+1) este adevarata ⇒ P(n) este adevarata ∀ n∈N
