Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a)
Notez: z=a+b·i
(a+b·i)²=a-b·i ⇒ a²+2·a·b·i+(b·i)²=a-b·i ⇒ a²+2·a·b·i-b²-a+b·i=0 =>
⇒ a²-b²-a+2·a·b·i+b·i=0 ⇒ a²-b²-a+(2·a·b+b)·i=0 ⇒
a²-b²-a=0
si
2·a·b+b=0 ⇒ (2·a+1)·b=0 ⇒ a=-1/2 sau b=0
Caz 1
a =-1/2 ⇒ b²=a²-a=1/4+1/2=3/4 ⇒ b=±√3/2
⇒ z=-1/2±√3/2
Caz 2
b=0 ⇒ a²-a=b²=0 ⇒a·(a-1)=0 ⇒ a=0 sau a=1
⇒ z=0 sau z=1
e)
Daca z=r·(cosФ+i·sinФ), conform formulei lui Moivre avem:
zⁿ=rⁿ·(cos(n·Ф)+i·sin(n·Ф))
Dar zⁿ=|z| ⇒ rⁿ·(cos(n·Ф)+i·sin(n·Ф))=r ⇒ rⁿ·cos(n·Ф)-r+rⁿ·sin(n·Ф)·i=0 ⇒
rⁿ·cos(n·Ф)-r=0
si
rⁿ·sin(n·Ф)=0 ⇒ r=0 sau sin(n·Ф)=0
Caz 1
r=0 ⇒ z=0
Caz 2
sin(n·Ф)=0 ⇒ cos(n·Ф)=±1 si n·Ф=k·π unde k∈N
Dar rⁿ·cos(n·Ф)-r=0 ⇒ ±rⁿ=r ⇒ ±rⁿ⁻¹=1 (pentru r≠0) ⇒ rⁿ⁻¹=±1 ⇒ r=±1
⇒ z=±(cosФ+i·sinФ)=±[cos(k·π/n)+i·sin(k·π/n)] unde k∈N
