[-] Punctul 8:
Raspuns :
[tex]\lim_{n \to \infty} x_n =1[/tex]
Explicatie :
Aplicam criteriul clestelui :
[tex]ln(2+n)\geq ln(2) \geq 1, \forall n \in N[/tex],
[tex]ln(3+n)\geq ln(3) \geq 1, \forall n \in N[/tex]
[tex]ln(2+n) < ln(3+n), \forall n \in N[/tex]
Astfel :
[tex]1\leq \lim_{n \to \infty} \frac{ln(2+n)}{ln(3+n)} \leq \lim_{n \to \infty} \frac{ln(3+n)}{ln(3+n)}\\\\ \lim_{n \to \infty} \frac{ln(3+n)}{ln(3+n)}=1\\[/tex]
Din criteriul clestelui rezulta
[tex]\lim_{n \to \infty} x_n = 1[/tex]
[-] Punctul 8:
Raspuns :
[tex]\lim_{n \to \infty} x_n =2[/tex]
Explicatie :
[tex]ln(n^2+n)=ln(n(n+1))=ln(n)+ln(n+1)[/tex]
[tex]x_n=\frac{ln(n)+ln(n+1)}{ln(n)} =1+\frac{ln(n+1)}{ln(n)}[/tex]
Determinam limita raportului :
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{ln(n+1)}{ln(n)}\\ = \lim_{n \to \infty} \frac{ln(n(1+\frac{1}{n}))}{ln(n)}\\ = \lim_{n \to \infty} \frac{ln(n)+ln(1+\frac{1}{n}))}{ln(n)}\\ = \lim_{n \to \infty} 1+\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{ln(n)}[/tex]
Deoarece
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{ln(1+\frac{1}{n})}{ln(n)} = \frac{ln(1)}{ln(\infty)} =\frac{0}{\infty} = 0[/tex]
Rezulta
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{ln(n+1)}{ln(n)} = 1[/tex]
Astfel, ne intoarcem in expresia initiala :
[tex]\lim_{n \to \infty} x_n =1+1=2[/tex]
