Avem urmatoarele numere:
[tex]a=(\frac{1}{\sqrt{5} } +\frac{1}{\sqrt{3} } )*\frac{\sqrt{30} }{\sqrt{5} +\sqrt{3} }[/tex]
[tex]b=\sqrt{128}[/tex]
Aducem expresia de la a la cea mai simpla forma astfel:
1) Înmulțim [tex]\frac{\sqrt{30} }{\sqrt{5} +\sqrt{3} }[/tex] cu fiecare element din paranteză[tex]a=(\frac{1}{\sqrt{5} } +\frac{1}{\sqrt{3} } )*\frac{\sqrt{30} }{\sqrt{5} +\sqrt{3} }=\frac{1}{\sqrt{5} }*\frac{\sqrt{30} }{\sqrt{5} +\sqrt{3} }+\frac{1}{\sqrt{3} } *\frac{\sqrt{30} }{\sqrt{5} +\sqrt{3} }[/tex]
2) Simplificăm astfel: [tex]\sqrt{30}[/tex] cu [tex]\sqrt{5}[/tex] și [tex]\sqrt{30}[/tex] cu [tex]\sqrt{3}[/tex]. Obținem:
[tex]a=\frac{1}{\sqrt{5} }*\frac{\sqrt{30} }{\sqrt{5} +\sqrt{3} }+\frac{1}{\sqrt{3} } *\frac{\sqrt{30} }{\sqrt{5} +\sqrt{3} }=\frac{1}{1}*\frac{\sqrt{6} }{\sqrt{5} +\sqrt{3}} +\frac{1}{1}*\frac{\sqrt{10} }{\sqrt{5} +\sqrt{3}}[/tex]
3) Cum ambele fracții au același numitor, putem să le adunăm:
[tex]a=\frac{\sqrt{6} }{\sqrt{5} +\sqrt{3}} +\frac{\sqrt{10} }{\sqrt{5} +\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{10} }{\sqrt{5} +\sqrt{3}}[/tex]
4) Raționalizând, amplificând cu [tex]\sqrt{5} -\sqrt{3}[/tex]:[tex]a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{10} }{\sqrt{5} +\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{10})( \sqrt{5} - \sqrt{3})}{5-3}}=\frac{\sqrt{6} *\sqrt{5}-\sqrt{6}*\sqrt{3}+\sqrt{10}*\sqrt{5} -\sqrt{10}*\sqrt{3} }{2}}=\frac{\sqrt{30}-\sqrt{18} +\sqrt{50}-\sqrt{30} }{2} =\frac{5\sqrt{2} -3\sqrt{2} }{2} =\frac{2\sqrt{2} }{2} =\sqrt{2}[/tex]
Formula mediei geometrice este:
[tex]\sqrt{a*b} =\sqrt{\sqrt{2} *\sqrt{128} } =\sqrt{\sqrt{2}*8*\sqrt{2} } =\sqrt{8*2} =\sqrt{16} =4[/tex]
Ion este cel care a răspuns corect.
