a)
Fie [tex]A=M(f;bc,bc)[/tex] unde bc denoteaza baza canonica respectivului spatiu vectorial. Fiind ca
[tex]f(1,0,0)=(1,1)[/tex],
[tex]f(0,1,0)=(1,-2)[/tex],
[tex]f(0,0,1)=(1,0)[/tex],
vom obtine
[tex]A=\begin{bmatrix} 1&1&1\\1&-2&0\end{bmatrix}[/tex].
b)
[tex]f(1,2,3)=(1+2+3,1-2\cdot 2)=(6,-3)[/tex].
[tex]f^{-1}(1,0)=\left\{x\in\mathbb{R}^3:\: f(x)=(1,0)\right\},[/tex]
Adica, [tex]x=(x_1,x_2,x_3)\in f^{-1}(1,0)[/tex] numai, si numai daca [tex]X=\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix}^T[/tex] este o solutie a sistemului de ecuatie [tex]AX=B[/tex], unde [tex]B=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}^T[/tex].
Daca faci calculele, vei ajunge la solutia generala,
[tex]x=(0,0,1)+\lambda(2,1,-3)[/tex], cu [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex]. Aceste elemente apartin lui [tex]f^{-1}(1,0)[/tex].
c) Daca stii ca [tex]n-r(A)=dimKerf[/tex] unde [tex]n[/tex] este numarul de coloane, care este [tex]3[/tex] si [tex]r(A)[/tex] este caracteristica matricii, care e [tex]2[/tex] (verifici usor), vei ajunge la concluzia ca [tex]Kerf[/tex] este generat de un vector nenul. Cum ajungi la ea? De exemplu daca [tex]X,Y[/tex] sunt solutii la problema din b), adica, daca sunt solutii a ecuatiei lineare [tex]AX=B[/tex], vei avea ca [tex]A(X-Y)=AX-AY=B-B=0[/tex], adica [tex]X-Y[/tex] este solutia ecuatiei homogene [tex]AX=0[/tex]. Poti defapt alege vectorul [tex](2,1,-3)[/tex] ca fiind o solutie. De aici, [tex]((2,1,-3))[/tex] este o baza a lui [tex]Kerf[/tex].
