Răspuns:
Teorema:limita unui raport de polinoame este 0 daca gradul numitorului mai mare decat gradul numaratorului
±∞ daca gradul numaratorului mai mare decat gradul numitorului
-raportul coeficientilor termenilor de grad cel mai inalt in cazul in care numitorul si numaratorul au acelasi grad
a)lim an=0 pt ca numaratorul are gradul 1 si numitorul are gradul 2
b)lim an=0 pt ca numaratorul are gradul 2 si numitorul gradul 3
c)[tex]\sqrt[n]{1+2^{n} }[/tex] =an
Aplici criteriul radacinii
(1+2ⁿ⁺¹)/(1+2ⁿ)=(1+2*2ⁿ)/(1+2ⁿ)=2ⁿ(1/2ⁿ+2*2ⁿ/2ⁿ)/2ⁿ(1/2ⁿ+2ⁿ/2ⁿ)=(0+2)/(0+1)=2/1=2
d)aplici tot criteriul radacinii
lim(2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹)/(2ⁿ+3ⁿ)=lim(2*2ⁿ+3*3ⁿ)/(2ⁿ+3ⁿ)=dai factor comum fortat pe 3ⁿ=lim3ⁿ[(2/3)ⁿ+3*3ⁿ/3ⁿ]/3ⁿ(2/3ⁿ+3ⁿ/3ⁿ)=(0+3)/(0+1)=3
e)an=3ⁿ/n!
Aplici criteriul raportului
liman=lim3ⁿ⁺¹/(n+1)!:3ⁿ/n!=lim
3*3ⁿ/m!*(n+1)*n!/3ⁿ=lim3/(n+1)=0
f)an=eⁿ/n! aplici criteriul raportului
liman=eⁿ⁺¹/(n+1)!:eⁿ/n!=lime*eⁿ/n!*(n+1)*n!/eⁿ=
lim e/(n+1)=0
g)aplici tot criteriul raportului .demonstratia identica cu pct e si f
h)an=(2ⁿ+3ⁿ+5ⁿ)/n!
2ⁿ+3ⁿ+5ⁿ<5ⁿ+5ⁿ+5ⁿ=3*5ⁿ=>
lim an<lim 3*5ⁿ/n! aplici criteriul raportului si-ti va da 0|=> lim an=0
Revin
i)an=2ⁿ/3ⁿ+1<2ⁿ/3ⁿ=(2/3)ⁿ
lim(2/3)ⁿ=0 deoarece un numar subunitar ridicat la oo tinde la 0
=. >lim an=0
j)an=(2ⁿ+3ⁿ)/(3ⁿ+4ⁿ)=la numarator dai factor comun fortat pe 3ⁿ si la numitor pe 4ⁿ
lim an=lim3ⁿ(2ⁿ/3ⁿ+3ⁿ/3ⁿ)/4ⁿ(3ⁿ/4ⁿ+4ⁿ/4ⁿ)=lim(3/4)ⁿ*(0+1)/(0+1)=0*1=0
Explicație pas cu pas:
