Presupunem că p și q sunt ambele impare, atunci [tex]\displaystyle\\p^q+q^p[/tex] este par, dar
[tex]5^n[/tex] este impar vom obține că [tex]p^q+q^p-5^n[/tex] este impar dar din ipoteză avem că
[tex]p^q+q^p-5^n=8360[/tex] care este par, deci obținem că unul dintre cele două numere p și q este par adică 2 pentru că numerele p și q sunt prime.
Cum [tex]p<q[/tex], evident, [tex]p=2[/tex], iar relația se scrie:
[tex]2^q+q^2-5^n=8360\Longleftrightarrow 2^q+q^2=8360+5^n~~~~~~~~~~~~~~~~(1).[/tex]
Se observă că [tex]n=0[/tex] implică [tex]q=13.[/tex]
Acum, pentru [tex]n\geq 1[/tex], ultima cifră a membrului drept al relației (1) va fi 5, dar prin verificări se arată că ultima cifră a membrului stâng al relației (1) nu poate fi 5, deci de aici obtinem soluția unică [tex]\boxed{(n,p,q)\in\left\{(0,2,13)\right\}}.[/tex]
