Răspuns:
Pe M=R se definește legea x · y = xy - x - y + 5
1. Calculați 0 · 1.
0 · 1 = 0×1 - 0 - 1 + 5 = -1 + 5 = 4
2. Arătați că legea de compoziție „·” este comutativă.
„·” este comutativă ⇔ x · y = y · x, ∀x,y∈M
⇔ xy - x - y + 5 = yx - y - x + 5 (Adevărat) pentru ∀x,y∈M, pentru că adunarea și înmulțirea sunt comutative.
3. Arătați că x · y = (x - 1)(y - 1) + 4 pentru orice numere reale x și y.
x · y = xy - x - y + 5 ⇔ x · y = xy - x - y + 1 + 4 ⇔ x · y = x(y - 1) - (y - 1) +4 ⇔ x · y = (x - 1)(y - 1) + 4 (Adevărat) pentru ∀x,y∈M
4. Verificați dacă x · 1 = 4 pentru orice număr real x.
x · 1 = (x - 1)(1 - 1) + 4 = (x - 1) × 0 + 4 = 4 (Adevărat) pentru ∀x∈R
5. Determinați numerele reale x știind că x · x = 8.
x · x = (x - 1)(x - 1) + 4 = (x - 1)² + 4 = 8 ⇒ (x - 1)² = 4 ⇒ x - 1 = ± 2 ⇒ x ∈ {-1, 3}
6. Determinați numărul perechilor de numere întregi (m,n) știind că m · n = 5
m · n = 5 ⇔ (m - 1)(n - 1) + 4 = 5 ⇔ (m - 1)(n - 1) = 1 ; m,n ∈ Z
CAZ 1: m - 1 = 1 ⇒ m = 2
n - 1 = 1 ⇒ n = 2 ⇒ (m,n) = (2,2)
CAZ 2: m - 1 = -1 ⇒ m = 0
n - 1 = -1 ⇒ n = 0 ⇒ (m,n) = (0,0)
⇒ Avem 2 perechi de numere întregi (m.n) care îndeplinesc condiția dată.
