Răspuns:
(27 , 1)
(14, 4)
(28, 2)
(39, 13)
(52, 26)
Explicație pas cu pas:
Prin definitie, (a; b) = cmmdc si [a; b] = cmmmc
Notam x = (a ; b)
Fie acum numerele naturale y si z, astfel incat a = x*y si b = x*z, cu (y ; z) = 1 (adica y si z sunt prime intre ele) , si y > z (pentru ca a>b)
Avem ca [a ; b] = a*b/(a; b) = x*y*x*z/x = x*y*z
Asadar
x*y*z - x = 26
x*(y*z - 1) = 26, ceea ce inseamna ca x este divizor al lui 26, adica apartine multimii {1, 2, 13, 26}
a)
x = 1
1*(y*z - 1) = 26
y*z - 1 = 26
y*z = 27.
27 = 1*27 sau 27 = 3*9. Cum y si z sunt prime intre ele, 3 si 9 nu este solutie buna, asadar y = 27 si z = 1 (y > z), deci a = 1*27 = 27 si b = 1*1 =1
b)
x = 2
2*(y*z - 1) = 26
y*z - 1 = 13
y*z = 14.
14 = 1*14 sau 14 = 2*7, asadar y = 14 si z = 1, sau y = 7 si z = 2
deci a = 2*14 = 28 si b = 2*1 = 2 sau a = 2*7 = 14 si b = 2*2 = 4
c)
x = 13
13*(y*z - 1) = 26
y*z - 1 = 2
y*z = 3.
3 = 1*3 asadar y = 3 si z = 1, deci a = 13*3 = 39 si b = 13*1 = 13
d)
x = 26
26*(y*z - 1) = 26
y*z - 1 = 1
y*z = 2
2 = 1*2 asadar y = 2 si z = 1, deci a = 26*2 = 52 si b = 26*1 = 26
