Răspuns:
31.
a) (2x+3)² - (2x-1)(4-x) - 2(x+2)² + 3x - 2 = 4x² - 2x + 3
b) n = {-1, 0, 1, 2}
32.
a) (3x - 2)² - 2(x - 3)(1 + x) - 3(x - 2)² - x(x + 4) - 7 = 3x² - 9
b) n = {-2, 2}
Explicație pas cu pas:
a) eliminăm parantezele, reducem termenii asemenea și ajungem la forma cerută:
(2x+3)² - (2x-1)(4-x) - 2(x+2)² + 3x - 2
= 4x² + 12x + 9 - (8x - 2x² - 4 + x) - 2(x² + 4x + 4) + 3x - 2
= 4x² + 12x + 9 - 9x + 2x² + 4 - 2x² - 8x - 8 + 3x - 2
= 4x² - 2x + 3 (adică forma cerută)
b) Înlocuim pe x cu n în expresie și obținem o inegalitate de gradul 2:
E(n) ≤ 2(n+4) + 3
4n² - 2n + 3 ≤ 2n+8 + 3
4n² - 4n - 8 ≤ 0
4(n² - n - 2) ≤ 0
Întrucât 4 ≥ 0, înseamnă că n² - n - 2 ≤ 0
Studiem semnul expresiei n² - n - 2:
Δ = 1+8 = 9
rădăcinile sunt n₁ = -1 și n₂ = 2
Între rădăcini, semnul expresiei este negativ (pentru că avem coeficientul lui n² pozitiv).
Asta înseamnă că expresia n² - n - 2 ≤ 0 pentru n ∈ [-1, 2]
Cum ni se cer valorile întregi ale lui n, soluțiile sunt -1, 0, 1 și 2.
32.
a) eliminăm parantezele, reducem termenii asemnea și ajungem la forma cerută:
(3x - 2)² - 2(x - 3)(1 + x) - 3(x - 2)² - x(x + 4) - 7
= 9x² - 12x + 4 - 2(x + x² - 3 - 3x) - 3(x² - 4x + 4) - x² - 4x - 7
= 9x² - 12x + 4 - 2x - 2x² + 6 + 6x - 3x² + 12x - 12 - x² - 4x - 7
= 3x² - 9
b) E(n) = 3n² - 9 = 3(n² - 3)
Pentru ca 3(n² - 3) să fie număr prim, trebuie ca unul dintre factori să fie egal cu 1. Cum 3 nu poate fi egal cu 1, singura variantă posibilă este:
n² - 3 = 1
Echivalent cu n² = 4, de unde n = -2 și n = 2
Verificarea soluțiilor:
pentru n=-2, E(n) = 3×4 - 9 = 12-9 = 3, care este număr prim
pentru n=2, E(n) = 3×4 - 9 = 12-9 = 3, care este număr prim
Soluțiile sunt corecte.
