Răspuns:
Explicație pas cu pas:
b.
Fie (5n + 2; 3n + 1) = d
atunci
d|5n + 1 ⇒ d|3(5n + 2) ⇒ d|15n + 6 si
d|3n + 1 ⇒ d|5(3n + 1) ⇒ d|15n + 5
⇒ d| (15n + 6) - (15n + 5 ) ⇒ d|1 ⇒ d = 1 , adica (5n + 2; 3n + 1) = 1
c)
Fie (8n + 9; 6n + 7) = d
atunci
d|8n + 9 ⇒ d|6(8n + 9) ⇒ d|48n + 54 si
d|6n + 7 ⇒ d|8(6n + 7) ⇒ d|48n + 56
⇒ d| (48n + 56) - (48n + 54 ) ⇒ d|2 ⇒ d = 1 sau d = 2
Dar: 8n + 9 este numar impar, oricare ar fi numarul natural n, asadar d nu poate sa fie egal cu 2, si atunci ramane doar d = 1 , adica (8n + 9; 6n + 7) = 1
d) Fie (12n + 6; 20n + 12) = d
atunci
d|12n + 6 ⇒ d|5(12n + 6) ⇒ d|60n + 30 si
d|20n + 12 ⇒ d|3(20n + 12) ⇒ d|60n + 36
⇒ d| (60n + 36) - (60n + 30 ) ⇒ d|6 ⇒ d poate sa fie doar 1, 2 , 3 sau 6, adica (12n + 6; 20n + 12) ∈ { 1; 2; 3; 6}.
Ca o observatie suplimentara: pentru n=1 , 20n + 12 = 20 + 12 = 32, iar nici 3 nici 6 nu sunt divizori ai lui 32, deci (12n + 6; 20n + 12) = 1 sau 2, care oricum apartin multimii { 1; 2; 3; 6}
