Răspuns:
NQ = 6 cm
Explicație:
demonstrația are mai multe etape:
1. arătăm că ΔABC este dreptunghic
2. arătăm ca ABCD și PQBC sunt dreptunghiuri
3. stabilim raportul de asemănare între ΔNCM și ΔNAB
4. aplicăm acest raport la înălțimile din N ale celor două triunghiuri
1. lungimile laturilor ΔABC verifică relația
AB² + BC² = AC², deoarece 12² + 9² = 225 = 15²
⇒ ΔABC dreptunghic în B
2. notăm cu O mijlocul lui AC ⇔ AO ≡ OC
prin construcție BO ≡ OD
⇒ în ABCD diagonalele se înjumătățesc și un unghi este de 90°
⇒ ABCD dreptunghi ⇔ AB ≡ CD și AB║CD
notăm cu Q piciorul perpendicularei din N pe AB
notăm cu P intersecția NQ ∩ CD
∡NQB = ∡QBC = ∡BCP = 90° ⇒ ∡CPN = 90°
⇒ PQBC dreptunghi și NP înălțime în ΔMNC
3.
∡MCN ≡ ∡NAB (alt. int.) }
∡CMN ≡ ∡ABN (alt. int.) } ⇒ ΔNCM ≈ ΔNAB
∡MNC ≡ ∡BNA (op. la v.) }
cum MC = CD / 2 = AB / 2
⇒ raportul de asemănare este MC / AB = 1 / 2
4.
raportul de asemănare se aplică tuturor liniilor importante din triunghi
⇒ NP / NQ = 1 / 2
aplicăm proporții derivate:
(NP + NQ) / NQ = (1 + 2) / 2
NP + NQ = PQ = BC = 9 cm
9 / NQ = 3 / 2
NQ = 18 / 3
NQ = 6 cm
