Răspuns:
Sa aflam cu ce cifra se poate termina un patrat perfect:
u(1 · 1) = 1
u(2 · 2) = 4
u(3 · 3) = 9
u(4 · 4) = 6
u(5 · 5) = 5
u(6 · 6) = 6
u(7 · 7) = 9
u(8 · 8) = 4
u(9 · 9) = 1
u(0 · 0) = 0
putem concluziona că:
M = {u(n · n) | n ∈ N} = {0, 1, 4, 5, 6, 9}
Verificam daca numerele din exercitiu se termina cu una din aceste cifre:
a) 7 ∉ M
⇒ 1234567 nu este patrat perfect
b)
2⁴⁰³ + 2⁴⁰² = 2⁴⁰² (2 + 1) = 3 · 2⁴⁰²
aflam u(2⁴⁰²)
u(2¹) = 2
u(2²) = 4
u(2³) = 8
u(2⁴) = 6
u(2⁵) = 2
u(2⁶) = 4
etc.
Vedem ca ultima cifra se repeta din 4 in 4 numere
402 : 4 = 100, rest 2
⇒ u(2⁴⁰²) = 4
⇒ u(3 · 2⁴⁰²) = 2
2 ∉ M
⇒ 2⁴⁰³ + 2⁴⁰² nu este patrat perfect
c)
3¹² + 3¹¹ = 3¹¹ (3 + 1) = 4 · 3¹¹
aflam u(3¹¹)
u(3¹) = 3
u(3²) = 9
u(3³) = 7
u(3⁴) = 1
u(3⁵) = 3
Vedem ca ultima cifra se repeta din 4 in 4 numere
11 : 4 = 2, rest 3
⇒ u(3¹¹) = 7
⇒ u(4 · 3¹¹) = 8
8 ∉ M
⇒ 3¹² + 3¹¹ nu este patrat perfect
c)
aflam u(248¹⁷) = u(8¹⁷)
u(8¹) = 8
u(8²) = 4
u(8³) = 2
u(8⁴) = 6
u(8⁵) = 8
Vedem ca ultima cifra se repeta din 4 in 4 numere
17 : 4 = 4, rest 1
⇒ u(8¹⁷) = 8
⇒ u(248¹⁷) = 8
8 ∉ M
⇒ 248¹⁷ nu este patrat perfect
Explicație pas cu pas:
