Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a)
ridicam la putere:
[tex][\sqrt{(1+a)(1+b)}]^2 \geq (1+\sqrt{ab} )^2\\[/tex]
[tex](1+a)(1+b) \geq 1 + 2\sqrt{ab} + ab[/tex]
[tex]1 + b + a + ab \geq 1 + 2\sqrt{ab} + ab[/tex]
[tex]b + a - 2\sqrt{ab} \geq 0[/tex]
[tex](\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{ab} \geq 0[/tex]
[tex](\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0[/tex]
care este adevarata, pentu orice a si b numere pozitive.
b) ai uitat sa pui domeniul de definitie pentru a b si c.... banuiesc ca trebuie sa fie numere pozitive.
observam mai intai ca pentru orice numar pozitiv x, avem:
x + 1/x ≥ 2 , deoarece:
(x - 1)² ≥0 ⇒ x² -2x + 1 ≥ 0 ⇒ x² + 1 ≥ 2x ⇒ x + 1/x ≥ 2
asadar, revenind:
(a + b + c)(ab + ac + bc) = (a + b + c)(abc/c + abc/b + abc/a) = abc*(a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) = abc*(1 + a/b + a/c + b/a + 1 + b/c + c/a + c/b + 1) = abc*[3 + (a + 1/a) + (b + 1/b) + (c + 1/c)] ≥ abc*(3 + 2 + 2 + 2) = 9*abc
c)
Am aratat ca x + 1/x ≥ 2 si punand x = a²/b² ⇒ a²/b² + b²/a² ≥ 2
(a² + b²)(b² + c²)(c² + a²) = (a²b² + a²c² + b⁴ + b²c²)(c² + a²) = a²b²c² + a⁴b² + a²c⁴ + a⁴c² + b⁴c² + b⁴a² + b²c⁴ + a²b²c² = a²b²c²(1 + a²/c² + c²/b² + a²/b² + b²/a² + b²/c² + c²/a² + 1) = a²b²c²[2 + (a²/b² + b²/a²) + (a²/c² + c²/a²) + (b²/c² + c²/b²)] ≥ a²b²c²(2 + 2 + 2 + 2) = 8*a²b²c²
d) Am aratat ca x + 1/x ≥ 2 si punand x = abc ⇒ abc + 1/abc ≥ 2
iar punand x = a/b² ⇒ a/b² + b²/a ≥ 2
(b/ac + a)(c/ab + b)(a/bc + c) = (1/a² + b²/ac + c/b + ab)(a/bc + c) =
= 1/abc + c/a² + b/c² + b²/a +a/b² + c²/b + a²/c + abc = (abc + 1/abc) + (a/b² + b²/a) + (b/c² + c²/b) + (c/a² + a²/c) ≥ 2 + 2 + 2 + 2 = 8
