Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Vezi figura
Prelungim pe AA' si notam cu M intersectia cu DC
Prelungim pe CC' si notam cu N intersectia cu AB
Notam cu O intersectia lui AC cu BD
ABCD = paralelogram, O este intersectia diagonalelor ⇒ AO ≡ OC (1)
ABCD este paralelogram, atunci unghiurile ADC si DAB sunt suplementare, deci m(∡ADC) + m(∡DAB) = 180°
dar AM este bisectoarea lui DAB
deci m(∡DAM) = m(∡DAB) / 2
in Δ ADM, suma unghiurilor este 180°
m(∡ADM) + m(∡DAM) + m(∡DMA)= 180° = m(∡ADC) + m(∡DAB)
asadar:
m(∡DAB) / 2 + m(∡DMA) = m(∡DAB)
⇒ m(∡DMA) = m(∡DAB) / 2 = m(∡DAM)
⇒ Δ ADM este isoscel
⇒ AD ≡ DM
similar, pe partea cealalta, demonstram ca BN ≡ BC :
m(∡ABC) + m(∡DCB) = 180°
dar CN este bisectoarea lui DCB
deci m(∡BCN) = m(∡BCD) / 2
in Δ BCN, suma unghiurilor este 180°
m(∡CBN) + m(∡BCN) + m(∡BNC)= 180° = m(∡ABC) + m(∡DCB)
asadar:
m(∡BCD) / 2 + m(∡BNC) = m(∡BCD)
⇒ m(∡BNC) = m(∡BCD) / 2 = m(∡BCN)
⇒ Δ CBN este isoscel
⇒ BN ≡ BC ≡ AD ≡ DM
⇒ DM ≡ NB
cum AB ≡ DC (ABCD este paralelogram) ⇒ MC = DC - DM = AB - NB = AN
⇒ MC ≡ AN
dar MC // AN ⇒ MCNA = paralelogram ⇒ AM // CN ⇒ AA' // CC' (2)
MCNA = paralelogram ⇒ AM ≡ NC. cum AN ≡ MC si AC = latura comuna, ⇒
Δ AMC ≡ Δ ACN (caz LLL) ⇒ ∡MAC ≡ ∡ NCA
⇒ ∡A'AO ≡ ∡C'CO
din (1) avem ca AO ≡ OC
si cum ∡AOA' ≡ ∡COC' (opuse la varf)
⇒ΔAOA' ≡ ΔCOC' (caz ULU)
⇒ AA' ≡ CC'
din (2) ⇒ AA' // CC'
⇒ AA'CC' = paralelogram.
