Răspuns:
Vezi fisierul atasat pentru figura. Enuntul este incomplet, Daca F ar fi intre A si C, atunci ∡MBD = 15°, M ar fi intre B si N si AN nu are cum sa fie egala cu NM.
Explicație pas cu pas:
Asadar:
Notam cu E intersectia lui CN cu AB
ΔABC = echilateral
AD⊥BC ⇒ AD = inaltime, bisectoare, mediana si mediatoare
CN = bisectoarea ∡ACD = bisectoarea ∡ACB ⇒ CE = bisectoarea ∡ACB
⇒ CE = inaltime, bisectoare, mediana si mediatoare
⇒ N = centrul de greutate al ΔABC , si se afla la o treime de baza si doua treimi de varf
⇒ AN = 2*AD/3
si ND = AD/3 (1)
⇒ AN = 2*ND (2)
m(∡MBD) = m(∡ABM)/3 = [m(∡ABD + m(∡MBD]/3 = [60° + m(∡MBD)]/3
⇒ 3*m(∡MBD)= 60° + m(∡MBD) ⇒ 2*m(∡MBD)= 60° ⇒ m(∡MBD)= 60°/2 = 30°
Δ MDB = dreptunghic, m(∡MBD)= 30°. Conform teoremei ∡30° ⇒ DM = BM/2
m(∡ABM) = m(∡ABD) + m(∡MBD) = 60° + 30° = 90° ⇒ Δ ABM = dreptunghic
AD = bisectoarea ∡BAC ⇒ m(∡BAD)= m(∡BAC)/2 = 60°/2 = 30° ⇒ m(∡BAM) = 30°
Asadar:
Δ ABM = dreptunghic, m(∡BAM)= 30°. Conform teoremei ∡30° ⇒ BM = AM/2
Si atunci:
DM = BM/2 = (AM/2)/4 = AM/4 = (AD + DM)/4
4*DM = AD + DM
3*DM = AD
DM = AD/3 = ND -din (1)-
NM = DM + ND = ND + ND = 2*ND = AN -din(2)
⇒ NM ≡ AN
