Răspuns:
20.
10ⁿ⁺¹ - 10ⁿ = 10ⁿ (10 - 1) = (5 · 2)ⁿ · 9 = 9 · 5ⁿ · 2ⁿ
5ⁿ⁺¹ + 4 · 5ⁿ = 5ⁿ (5 + 4) = 9 · 5ⁿ
(9 · 5ⁿ · 2ⁿ) este divizibil cu (9 · 5ⁿ)
21.
aratam ca (1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ) este nr par
2ⁿ este nr par, ∀ n ∈ N
3ⁿ este nr impar ∀ n ∈ N (ultima cifra poate fi doar 1, 3, 9 sau 7), deci 3ⁿ + 1 este nr par ∀ n ∈ N
⇒ 2ⁿ + 3ⁿ + 1 este nr par, adica divizibil cu 2, ∀ n ∈ N
22.
se rezolva aratand ca suma ultimelor cifre se termina cu 0, pentru orice numar natural nedivizibil cu 4
ultima cifra a termenilor se repeta din 4 in 4
1¹ = 1; 1² = 1; 1³ = 1; 1⁴ = 1
2¹ = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 2⁴ = ...6
3¹ = 3; 3² = 9; 3³ = ...7; 3⁴ = ...1
4¹ = 4; 4² = ...6; 4³ = ...4; 4⁴ = ...6
prin adunarea ultimelor cifre obtinem:
= 10 = 20 = 20 = 14
asadar, suma 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ are ca ultima cifra 0 (este deci divizibila cu 10), daca n ∈ N nu este divizibil cu 4 (caz in care ultima cifra este 4)
23.
pentru ca un numar sa se divida cu 5, ultima cifra trebuie sa fie 0 sau 5.
asadar, a poate fi orice cifra de la 0 la 9, iar b poate fi doar 0 sau 5.
avem prin urmare 10 · 2 = 20 numere
(daca punem restrictia ca a ≠ b, atunci eliminam combinatiile 00 si 55, adica ramanem cu 18 numere)
Explicație pas cu pas:
