[tex]\it det(A(x+1))= \begin{vmatrix} \it 1& \it1& \it1\\ \\ \it x+1& \it x+3& \it 1\\ \\ \it (x+1)^2& \it (x+3)^2& \it 1\end{vmatrix}\\ \\ \\ \ell_2-\ell_1;\ \ell_3-\ell_1\ \Rightarrow \begin{vmatrix} \it 1& \it1& \it1\\ \\ \it x& \it x+2& \it 0\\ \\ \it (x+1)^2-1& \it (x+3)^2-1& \it 0\end{vmatrix}=x[(x+3)^2-1]-\\ \\ \\ -(x+2)[(x+1)^2-1]=x(x+3-1)(x+3+1)-(x+2)(x+1-1)(x+1+1)=\\ \\ \\ =x(x+2)(x+4)-(x+2)x(x+2)=x(x+2)(x+4-x-2)=2x(x+2)[/tex]
-2 și 0 sunt zerourile funcției (de gradul al II - lea), de la final, iar
minimul funcției se realizează pentru x = -1 ⇒ 2· (-1)·(-1+2)= -2.
Așadar, valoarea minimă pentru det(A(x+1)) este egală cu -2.
