Răspuns:
[tex]\dfrac{2021}{1977}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Șirul 2, 6, 12, 20, 30,..., 2020·2021 este de forma [tex]a_k = k(k+1)[/tex]
Trebuie să identificăm un invariant, adică o cantitate care nu se schimbă în final indiferent de ce numere sunt alese când se efectuează operația. În acest caz, a, b și c sunt întotdeauna înlocuite cu:
[tex]d = \dfrac{abc}{ab+bc+ac} = \dfrac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}[/tex]
Verificăm dacă este invariant:
Fie șirul S: a,b,c,x,y,z,...
Aplicăm operația de la stânga la dreapta.
După prima operație avem:
[tex]d = \dfrac{1}{\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}}[/tex]
[tex]S: \dfrac{1}{\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}}, x, y, z,...[/tex]
[tex]\Leftrightarrow S: d, x, y, z,...[/tex]
După a doua operație avem:
[tex]d' =\dfrac{1}{\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}[/tex]
[tex]S: d', x, y, z,...[/tex]
[tex]\Leftrightarrow S: \dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}, z,...[/tex]
Observăm că se păstrează cantitatea sub această formă indiferent de ce numere sau câte numere sunt alese.
După 1009 de operații vor rămâne doar 2 elemente în șir.
Consideram primul număr expresia, iar al doilea număr cel care trebuie aflat, pe care îl notăm cu m.
În final avem relația:
[tex]\displaystyle \dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{2020}\dfrac{1}{k(k+1)}-\dfrac{1}{m}}=47 \Rightarrow \dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{2020}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)-\dfrac{1}{m}} = 47 \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1 - \dfrac{1}{2021}\right)-\dfrac{1}{m}} = 47 \Rightarrow \dfrac{1}{\dfrac{2020}{2021}-\dfrac{1}{m}} = 47 \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{2020}{2021}-\dfrac{1}{m} = \dfrac{1}{47}\Rightarrow \dfrac{1}{m} = \dfrac{2020}{2021} - \dfrac{1}{47}\Rightarrow \boxed{m = \dfrac{2021}{1977}}[/tex]
