Răspuns:
Explicație pas cu pas:
14. Care număr este mai mare?
a) 2⁷³ - 2⁷² sau 3⁴⁸
2⁷³- 2⁷² = 2⁷²x(2-1) = 2⁷²x 1 = 2⁷²
Pentru a compara două puteri cu baze ( numere prime între ele: 2, 3), dar și exponenți diferiți, aflăm cel mai mare divizor comun al exponenților:
72 = 8x9 = 2³x3²
48 = 16x3 = 2⁴x3
_____________
c.m.m.d.c al numerelor 72 și 48 = 2³x3 = 24
2⁷² = 2⁽³ˣ²⁴) = (2³)²⁴ = 8²⁴
3⁴⁸ = 3⁽²ˣ²⁴⁾ = (3²)²⁴ = 9²⁴
8²⁴ < 9²⁴, deoarece 8 < 9 ( puteri cu același exponent)
↓ ↓
(2⁷³ -2⁷²) < 3⁴⁸
__________________________________
b) 2⁸³ - 2⁸¹ sau 3⁵⁵
2⁸³ - 2⁸¹ = 2⁸¹ x ( 2² - 1) = 2⁸¹ x 3
2⁸¹ x 3 cu 3⁵⁴x 3 l : 3
2⁸¹ cu 3⁵⁴
81 = 9x9 = 3⁴
54 = 27x2 = 3³x2
_____________
c.m.m.d.c al exponenților = 3³ = 27
2⁸¹ = 2⁽²⁷ˣ³⁾ = (2³)²⁷ = 8²⁷
3⁵⁴ = 3⁽²ˣ²⁷⁾ = (3²)²⁷ = 9²⁷
8²⁷ < 9²⁷
↓ ↓
(2⁸³-2⁸¹) < 3⁵⁵
_______________________________________________
c) 3⁷⁷ sau 2¹⁰³ + 2¹⁰⁰
2¹⁰³ + 2¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ x ( 2³+1) = 2¹⁰⁰x 9 = 2¹⁰⁰ x 3²
2¹⁰⁰ x 3² cu 3⁷⁷ l : 3²
3⁽⁷⁷⁻²⁾ cu 2¹⁰⁰ x3⁽²⁻²⁾
3⁷⁵ cu 2¹⁰⁰
75 = 3x5²
100 = 2²x5²
__________
c.m.m.d.c al exponenților 75 și 100 = 5²= 25
3⁷⁵ = 3⁽³ˣ²⁵⁾ = (3³)²⁵ = 27²⁵
2¹⁰⁰ = 2⁽⁴ˣ²⁵⁾ = (2⁴)²⁵ = 16²⁵
27²⁵ > 16²⁵ ( 27>16)
↓ ↓
3⁷⁷ > (2¹⁰³+2¹⁰⁰)
