2. a) 1 la orice putere este tot 1, deci 1^2021=1
3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243, 3^6=729 etc
Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4.
Avem deci grupul de patru cifre 3, 9, 7, 1
Acum ca să calculăm 3^2019, împărțim 2019 la 4= 504 rest 7
Adica de 504 ori se cuprinde grupul de 4 cifre și mai rămân 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7 (în această ordine), deci ultima cifră a numărului 3^2019 este 7
5^1=5, 5^2= 25, 5^3= 125, 5^4=625 etc
Deci ultima cifra a 5^2020 este 5
Și avem 1 + 7 + 5 = 13, deci 3 este ultima cifra a nr
B) 2^1= 2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32 etc. Avem deci grupul de patru cifre 2, 4, 8, 6 (în această ordine) care se repetă.
2019:4= 504, rest 7; deci raman 2, 4, 6, 8, 2, 4, 6(6 fiind ultima cifra)
6^1= 6, 6^2=36, 6^3=216 etc
Deci ultima cifra a nr 6^2020 este 6
Orice numar la puterea 0 este 1, deci 2019^0=1
In final: 6+6+1 = 13, deci 3 este ultima cifra a nr
C) 4^1 = 4, 4^2 = 16, 4^3 = 64, 4^4 = 256 etc. Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2. Avem deci grupul de patru cifre 4 si 6.
2019:2=1009 rest 5, deci avem de 1009 de ori grupul de 2 și ne-a mai ramas: 4,6,4,6,4; deci 4 este ultima cifra a 4^2019
7^1=7, 7^2=49, 7^3=343, 7^4=2401 etc. Observăm că ultima cifră se repetă din 3 în 3. Avem deci grupul de patru cifre 1, 9, 3.
2020:3 = 673rest 3, deci avem la final1,9,3; deci 3 este ultima cifra
8^1=8, 8^2=64, 8^3=512, 8^4=4096, 8^5=32768. Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Avem deci grupul de patru cifre 8, 4, 2 si 6
2021:4 = 505 rest 2, deci ne rămân 8, 4(ultima cifra)
9^1=9, 9^2=81, 9^3=729 etc
Se repeta din 2 in 2, avem grupul 9 si 1
2020:2 = 1010, deci ultima cifra e 1
4+3+4+1=12, deci 2 e ultima cifra
2. a) 2019^0 + 0^2019 + 1^2019 = 1 + 0 + 1 = 2
b) (2^3 + 2*2^4 + 2^9) : (8+2^12:2^3+2^5) = (8 + 32 + 512) : (8+512 + 32) = 1
c) 3*3^41*9 - 3^44 + (4^25:2^49+1)^0
Orice număr la puterea 0 este 1, deci pranteaza e 1
9=3^2; 3*3^41*9 = 3*3^41*3^2 se copie baza si se aduna exponentii = 3^44
3^44 - 4^44 + 1 = 1
