Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Derivata a 2-a ne da punctele de inflexiune,
adica pct. in care se schimba convexitatea/concavitatea,
precum si convexitetea/concavitatea, care se stabilesc
pe un interval, pe care f(x) este cont. si deriv. de 2 ori
Daca pe un iterval f"(x) => 0, f este convexa pe interval
(se mai spune ca graficul tine apa)
Daca pe un interval f"(x) <= 0, f este concava pe interval
(se mai spune ca graficul nu tine apa)
f(x) = x/(x^2 +4)
f'(x) = (1*((x^2 +4) - x(2x))/(x^2 +4)^2=
(x^2 +4 -2x^2)/(x^2 +4)^2 =
(-x^2 +4)/(x^2 +4)^2
f"(x) = (-2x)(x^2 +4)^2 - (-x^2 +4)(2(x^2 +4)*2x=
2x(x^2 +4)(-x^2 -4 +2x^2 -8) =
2x(x^2 +4)(x^2 -12)
f"(x) = 0
2x(x^2 +4)(x^2 -12) = 0
2x =0 , x1 = 0 radacina a lui f"
x^2 + 4 > 0 pt. x in R
x^2 - 12 = 0, x2 = -√12, x3 = √12 radacini ale lui f"
√12 ~ 3,4
f"(-4) = -8(16-12) < 0
Pe (-inf, -√12), f" < 0, f = concava
La fel se arata ca :
pe (-√12, 0) , f" > 0, f = convexa , x2 = pct. infl.
pt. x in (0, √12) f" < 0, f = concava, x1 = pct. infl.
pe (√12, +inf), f" > 0, f = convexa , x3 = pct. infl.
