Răspuns:
a) E(x) = 2x + 3
b) [tex]N = \sqrt{(n+2)^{2} }[/tex] , ceea ce înseamnă că N este număr natural N = n+2
Explicație pas cu pas:
a)
[tex](x+2\sqrt{2} )(x-2\sqrt{2} ) - 2(x-3)(x+5)+(x+3)^{2} - 28[/tex]
= x² - 8 - 2(x² + 2x - 15) + x² + 6x + 9 - 28
= x² - 8 -2x² - 4x +30 + x² + 6x - 19
= 2x + 3
b) Trebuie să arătăm că E(1)+E(2) + ..... E(n) + 4 este pătrat perfect, adică se poate scrie ca fiind un număr ridicat la pătrat.
Folosim rezultatul de la punctul a), și anume E(x) = 2x+3
E(1)+E(2) + ..... E(n) + 4 =
= 2·1 + 3 + 2·2 + 3 + 2·3 + 3 + ...... + 2·n + 3 + 4
Grupăm termenii astfel:
2·1 + 2·2 + .... +2·n + 3+3+.....+3 + 4 (avem numărul 3 adunat de n ori)
= 2(1+2+ .... n) + 3n + 4
= [tex]2\frac{n(n+1)}{2} + 3n + 4[/tex] - am folosit formula [tex]1+2+....n = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]
= n² + n + 3n + 4
= n² + 4n + 4
= (n+2)²
Așadar, am demonstrat că E(1)+E(2) + ..... E(n) + 4 se poate scrie ca un număr ridicat la pătrat
Asta înseamnă că
[tex]N = \sqrt{E(1) + E(2) + .... + E(n) +4}[/tex] = [tex]\sqrt{(n+2)^{2} }[/tex] = n + 2, care este număr natural, oricare ar fi n.
