[tex]\it \sqrt[3]{x+1}+\sqrt{x+2}=5 \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ \\ Not\breve am\ \sqrt[3]{x+1}=t \Rightarrow x+1=t^3|_{+1} \Rightarrow x+2=t^3+1\ \ \ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow t+\sqrt{t^3+1}=5 \Rightarrow \sqrt{t^3+1}=5-t \Rightarrow (\sqrt{t^3+1})^2=(5-t)^2 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow t^3+1=25-10t+t^2 \Rightarrow t^3-t^2+10t-24=0\ \ \ \ \ \ (3)[/tex]
Folosim faptul că rădăcinile întregi, dacă există, se află printre
divizorii termenului liber.
t = 1 nu convine (este vizibil !)
[tex]\it t=2 \Rightarrow 8-4+20-24=0 \Rightarrow0=0\ (A) \Rightarrow t=2\ este\ o\ solu\c{\it t}ie[/tex]
Acum, ecuația (3) se poate scrie:
[tex]\it t^3-2t^2+t^2-2t+12-24=0 \Rightarrow t^2(t-2)+t(t-2)+12(t-2)=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (t-2)(\underbrace{t^2+t+12}_{>0})=0 \Rightarrow t-2=0 \Rightarrow t=2, \ r\breve acin\breve a\ real\breve a\ unic\breve a[/tex]
Revenim asupra notației :
[tex]\it \sqrt[3]{\it x+1}=t \Rightarrow x+1=t^3|_{-1} \Rightarrow x=t^3-1 \Rightarrow x=2^3-1=7[/tex]
