Răspuns:
notez fₙ= f ° f ° f °...° f -de n-ori
demonstram ca fₙ(x) = aⁿx+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1)
Verificam rezultatul prin metoda inducției matematice
n=1 ⇒ f₁(x) = f(x) = a¹x + b·a⁰ = ax+b - adevarat
n=2 ⇒ f₂(x) =a²x + b(a¹+1)
f₂(x) = (f ° f)(x)=a·f(x)+b = a(ax + b)+b=a²x + b·a+b = a²x + b(a¹+1) - adevarat
presupunem ca relatia este adevarata pentru n ∈ N*
fₙ(x) = aⁿx+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1)
demonstram ca relatia este satisfacuta pentru n+1
fₙ₊₁(x) = aⁿ⁺¹x+b(aⁿ+aⁿ⁻¹+...+a²+a+1)
fₙ₊₁(x) = (fₙ ° f](x) =
= aⁿ·f(x)+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1) =
= aⁿ·(ax+b)+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1) =
= aⁿ·ax+aⁿ·b+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1) =
= aⁿ⁺¹x+b(aⁿ+aⁿ⁻¹+...+a²+a+1) -q.e.d.
=> (f ° f ° f °...° f)(x) = aⁿx+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1), unde f ° f ° f °...° f -de n-ori
