Răspuns:
[tex]x[/tex]∈[tex](0,\frac{\pi }{2})=> cosx > 0, sin x>0, tgx>0[/tex]
[tex]a) sinx-cosx=\frac{1}{2}[/tex] (Ridicam la patrat)
[tex]sin^2x+cos^2x-2sinx*cosx=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]1-2sinx*cosx=\frac{1}{4} =>-2sinx*cosx=-\frac{3}{4}[/tex]
[tex]2sinx*cosx=\frac{3}{4}[/tex]
[tex]2sinx*cosx=sin(2x)=\frac{3}{4}[/tex]
[tex]b) cos2x=cos^2x-sin^2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)=-\frac{1}{2} *(cosx+sinx)[/tex]
Facem separat cosx+sinx:
[tex]cosx+sinx=\sqrt{(cosx+sinx)^2}=\sqrt{cos^2x+sin^2x+2sinx*cosx}\\=\sqrt{1+\frac{3}{4} }=\sqrt{\frac{4}{4}+\frac{3}{4} }=\sqrt{\frac{7}{4} } =\frac{\sqrt{7} }{2}[/tex]
Inlocuim:
[tex]cos2x=-\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{7} }{2}=-\frac{\sqrt{7} }{4}[/tex]
[tex]c) tg(\frac{x}{2})[/tex]
Stim ca [tex]tg(\frac{x}{2})=\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}[/tex]
Facem separat 1+sinx-cosx si 1+sinx+cosx
[tex]1+sinx-cosx=1+\frac{1}{2} =\frac{3}{2}[/tex]
[tex]1+\frac{\sqrt{7} }{2} =\frac{2+\sqrt{7} }{2}[/tex]
Inlocuim:
[tex]\frac{\frac{3}{2} }{\frac{2+\sqrt{7} }{2} } =\frac{3}{2+\sqrt{7} }[/tex](Amplificam cu conjugata lui 2+[tex]\sqrt{7}[/tex], adica 2-[tex]\sqrt{7}[/tex])
[tex]\frac{3(2-\sqrt{7}) }{(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7}) } =\frac{6-3\sqrt{7} }{4-7} =\frac{6-3\sqrt{7} }{-3} =-\frac{3(2-\sqrt{7}) }{3} =-2+\sqrt{7}[/tex]
[tex]tg(\frac{x}{2} )=-2+\sqrt{7}[/tex]
Obs.: Pentru a putea rezolva si ultimul ex. a trebuit sa folosesc formula
[tex]\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}[/tex], atlfel nu se putea, dar nu te speria ptr. ca e destul de usor de demonstrat...Te vei obisnui
