Explicație pas cu pas:
Aplicam˘ Definit¸ia: Funct¸ia f : E → R are limita l ∈ R ˆın punctul x0 ∈ R, dac˘a pentru orice
ε > 0, exist˘a un num˘ar δ (ε) > 0 a.ˆı. oricare ar fi x ∈ E, x 6= x0 cu |x − x0| < δ (ε) s˘a rezulte
|f (x) − l| < ε .
Deci vom lua ε > 0 oarecare. Alegem, de exemplu, δ (ε) = ε/2. Fie acum x ∈ R a.ˆı.
|x − 5/2| < δ (ε) = ε/2. Avem atunci
|f (x) − l| = |(2x + 1) − 6| = |2x − 5| = 2 |x − 5/2| < 2 · ε/2 = ε
adica ceea ce trebuia demonstrat. ˘
2. Fie funct¸ia f : R
∗ → R , f (x) = |x|
x
, x 6= 0. Sa se arate c ˘ a˘ f nu are limita˘ ˆın punctul x0 = 0.
Rezolvare:
Aplicam˘ Definit¸ia:
1) Num˘arul ls este limita la stanga ˆ a funct¸iei f ˆın punctul x0 adic˘a avem
ls = lim
x%x0
f (x) sau ls = f (x0 − 0)
dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice ¸sir xn → x0 cu xn < x0 avem f (xn) → ls.
2) Num˘arul ld este limita la dreapta a funct¸iei f ˆın punctul x0 adic˘a avem
ld = lim
x&x0
f (x) sau ld = f (x0 + 0)
dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice ¸sir xn → x0 cu xn > x0 avem f (xn) → ld
3) (Teorema de caracterizare a limitei cu ajutorul limitelor laterale) Funct¸ia f are limit˘a ˆın
x0 dac˘a ¸si numai dac˘a are ˆın x0 limite laterale egale. ˆIn acest caz avem limx→x0
f (x) = f (x0 − 0) =
f (x0 + 0)
Vom alege (s¸tim ca exist ˘ a˘ ˆın mod evident) s¸irurile xn, yn a.ˆı. xn,yn → 0 cu xn < 0 s¸i yn > 0.
Avem
f (xn) = |xn|
xn
=
−xn
xn
= −1 → −1,
