Răspuns:
1)
1·2+2·3+...+n(n+1) = n(n+1(n+2)/3
verificam ce relatia este satisfacuta pentru n=1:
1·2=1·2·3/3 ⇔ 2=2 - adevarat
presupunem relatia adevarata pentru n=k si demonstram ca este adevarata si pentru n=(k+1), k∈N*
n=k ⇒ 1·2+2·3+...+k(k+1) = k(k+1(k+2)/3 -adevarata
n=k+1 ⇒ 1·2+2·3+...+k(k+1)+(k+1)(k+2) = (k+1(k+2)(k+3)/3 - de demonstrat
1·2+2·3+...+k(k+1)+(k+1)(k+2) =
= k(k+1(k+2)/3 + (k+1)(k+2) =
=(k+1)(k+2)[k/3+1] =
= (k+1)(k+2)(k+3)/3 - q.e.d
4) 1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)/2]²
n=1: 1³ = [1·2/2]² ⇔ 1³ = [1]² ⇔ 1 = 1 -adevarat
presupunem relatia adevarata pentru n=k:
1³+2³+3³+...+k³ = [k(k+1)/2]²
demonstram ca este adevarata si pentru n=(k+1):
1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³ = [(k+1)(k+2)/2]²
1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³ =
= [k(k+1)/2]² + (k+1)³ =
= k²(k+1)²/2²+ (k+1)³ =
= (k+1)²[k²/4+ (k+1)] =
= (k+1)²[(k²+4k+4)/4] =
= (k+1)²[(k+2)²/2²] =
= [(k+1)(k+2)/2]² -q.e.d.
