Răspuns:
[tex](1-sin a)x^2-2xcos a+1+sina\geq 0[/tex] Vom trata ecuatia ca o functie de gr. 2
[tex]f(x) = (1-sin a)x^2-2xcosa+1+sina[/tex]
Vom demonstra ca [tex]f(x)\geq 0[/tex], adica vom demonstra ca Delta = 0 si ca coeficientul a > 0;
Etapa 1) Coeficientul [tex]a=(1-sina) > 0[/tex] "Adevarat", deoarece sina apartine intervalului [-1;1]. Putem verifica pentru sina = -1 si sina = 1 =>
Pentru sina = -1 => [tex]a=1-sina = 1-(-1) = 1+1=2[/tex]
Pentru sina= 1 =>[tex]a=1-sina= 1-1=0[/tex] (Deoarece [tex]a\geq 0[/tex] vom trata cazul in care a=0 separat)
Etapa 2) Vom demonstra ca Delta = 0
[tex]Delta = b^2-4ac = (-2cosa)^2-4*(1-sina)*(1+sina) = 4cos^2a-4(1^2-sin^2a) <=> 4cos^2a-4+4sin^2a <=> Observatie!! (sin^2a=1-cos^2a)!! \\=> 4cos^2a-4+4*(1-cos^2a) <=> -4cos^2a-4+4+4cos^2a = 0[/tex]
Am demonstrat ca delta = 0
Deoarece [tex]a\geq 0[/tex] si Delta = 0 => f(x) [tex]\geq 0[/tex] pentru orice x ∈ R
Etapa 3) Acum ne vom ocupa separat de cazul in care a = 0
[tex]a = 0 => f(x) = (1-sina)x^2-2xcosa+1+sina\geq 0 <=> 0*x^2-2xcosa+1+sina\geq 0 => -2xcosa+1+sina\geq 0[/tex]
Acum vom lua cazul in care sin a = 1 si cos a = -1;
[tex]=> -2x*(-1)+1+1\geq 0 <=>2x+2\geq 0[/tex] "Adevarat"
Nu mai sunt alte cazuri deoarece a=0 numai cand sina = 1 => Inegalitatea a fost demonstrata !!! C.C.T.D.
Explicație pas cu pas:
