Răspuns:
rezolvare
Explicație pas cu pas:
[tex]2ctg2x-ctgx=sin2x+3sinx[/tex]
[tex]2*\frac{cos2x}{sin2x} -\frac{cosx}{sinx} =2sinxcosx+3sinx[/tex]
Stim ca [tex]sin2x=2sinxcosx, ctgx=\frac{cosx}{sinx} , cos2x=cos^{2} x-sin^{2} x, cos2x=2cos^{2} x-1[/tex]
ultima folosind [tex]sin^{2} x+cos^{2} x=1[/tex], desi sunt destul de uzuale
[tex]2*\frac{2cos^{2}x-1 }{2sinxcos} -\frac{cos^{2} x}{sinxcosx} =2sinxcosx+3sinx[/tex]
[tex]\frac{cos^{2} x-1}{sinxcosx} } =2sinxcosx+3sinx[/tex]
[tex]cos^{2} x-1=cos^{2} x-sin^{2} x-cos^{2} x=-sin^{2} x[/tex]
[tex]\frac{-sin^{2} x}{sinxcosx} } =2sinxcosx+3sinx[/tex]
[tex]\frac{-sinx}{cosx} =2sinxcosx+3sinx[/tex]
[tex]\frac{-1}{cosx} =2cosx+3[/tex]
[tex]2cos^{2} x+3cosx+1=0[/tex]
delta=1 si ies solutiile cosx=-1(*) si cosx=[tex]\frac{-1}{2}[/tex] (**), [tex]cosx\in[-1,1][/tex], ambele verifica.
[tex]cos2x\geq 0[/tex] aceasta se rezolva foarte usor cu graficul functiei cosinus de unde reiese ca 2x apartine reuniunii tutuor intervalelor de forma [tex][2k\pi -\frac{\pi }{2} ,2k\pi +\frac{\pi }{2} ][/tex], cele de deasupra axei Ox (graficul se face in clasa la ora cred ca il ai)
Deci [tex]x\in\bigcup[k\pi -\frac{\pi }{4} ,k\pi +\frac{\pi }{4}][/tex], U ala se refera la reuniunea tuturor intervalele de forma, e doar o notatie, adica x aparine zonelor portocalii (cum 2x pozitiv si x pozitiv) (1)
(*) si (**) le intersectam cu (1) pt a avea rezultatul final:
cosx=-1(*)
[tex]cos[(2k+1)\pi ]=-1,k\in\mathbb{Z}[/tex]
deci [tex]x_{1} =(2k+1){\pi ,k\in\mathbb{Z}[/tex]
ne folosim de (1) dar aicea e destul de usor ca stim ca cos(2kpi)=1>0 si cos(2kpi+1)=-1<0 deci [tex]S_{1} =(2k+1){\pi ,k\in\mathbb{Z}[/tex]. (pentru ca x1=impar*pi adica cosx<0, iar 2x1=par deci cos2x1>0) In acest caz solutia e chiar x1.
cosx=[tex]\frac{-1}{2}[/tex](**)
[tex]x_{2} =\pm arccos(\frac{-1}{2} )+2k\pi ,k\in\mathbb{Z}[/tex]
[tex]x_{2} =\pm \frac{2\pi }{3} +2k\pi ,k\in\mathbb{Z}[/tex]
[tex]\frac{2\pi }{3} =0.6\pi[/tex]
Cel mai usor de explicat ar fi asa, x trebuie sa apartna in zonele portocli, iar 0,6pi+2pi trece de 2,5pi, deci nu apartine. Asemanator 2pi-0.66 este sub 1,5pi deci iara nu apartine. Am luat exemplu cu k=1 dar merge pentru oricare k apartine lui Z.
[tex]S_{2} =\varnothing[/tex]
deci [tex]S=S_{1} \cup S_{2}= [(2k+1)\pi |k\in\mathbb{Z}][/tex].
