Pai, determinantul matricei A este, conform regulei triunghiului (merge oricare alta metoda) : m^3 + 1 + 1 -m -m -m = m^3 - 3m + 2 ; observam ca m^3 - 3m + 2 = m^3 - m -2m + 2 = m(m^2 - 1) - 2(m-1), dar m^2-1 este (m+1)(m-1), deci avem m(m^2 - 1) - 2(m-1) = m(m+1)(m-1)-2(m-1), dam factor comun m-1:
(m-1)[m(m+1)-2] = (m-1)(m^2+m-2)
Rangul va fi dependent de m.
Ca sa avem rangA=3, trebuie ca detA≠0, deci (m-1)(m^2+m-2)≠0 ; doua paranteze inmultie dau diferit de 0 daca si numai daca ambele paranteze sunt diferite de 0, deci m-1≠0 => m≠1 si
m^2+m-2≠0, m^2-m+2m-2≠0 => m(m-1)+2(m-1)≠0 => (m-1)(m+2)≠0, acelasi principiu se aplica, m-1≠0 => m≠1 si m+2≠0 => m≠-2
deci rangA=3 <=> m∈R\{-2,1}
Ca sa avem rangA=2, trebuie ca un minor de ordinul 2 sa fie nenul, iar cel de ordin 3 sa fie nul. Calculam minorii, si observam fie dau m^2-1, fie 1-m, iar astia trebuie sa fie si ei diferiti de 0
Deci m^2-1≠0 => m^2≠1 => m≠±1
si 1-m≠0 => m≠1
deci rangA=2 <=> m=-2, caci daca m=-2, rangul matricei nu poate fi 3, iar pentru orice alta valoare a lui m fara -2 si 1, rangul va fi 3, deci numai cand m=-2, rangul va fi 2
Ca sa avem rangA=1 trebuie ca m sa fie valoarea pentru care nu poate fi (rangul) 2 sau 3, adica m=1; [Fii atent ca daca m=-1, rangul va fi 3]
Sper ca vei intelege... cam asa se gandesc exercitiile astea.
