Răspuns:
Explicație pas cu pas:
n = 103
103 : 12 = 8, rest 7
96
= 7
Verificare:
103 = 12 × 8 + 7
103 = 96 + 7
103 = 103 ✔✔ (adevarat)
103 : 18 = 5, rest 13
90
13
Verificare:
103 = 18 × 5 + 13
103 = 90 + 13
103 = 103 ✔✔ (adevarat)
Din teorema împărțirii cu rest avem:
n : 12 = c₁, rest 7 ⇒ n = 12c₁ + 7 |+5 (adunăm cu 5 toată relația) ⇒
n : 18 = c₂, rest 13 ⇒ n = 18c₂ + 13 |+5 (adunăm cu 5 toată relația) ⇒
n + 5 = 12c₁ + 12 ⇒ n + 5 = 12(c₁ + 1) ⇒ (n + 5) ⋮ 12 ⇒
n + 5 = 18c₂ + 18 ⇒ n + 5 = 18(c₂ + 1) ⇒ (n + 5) ⋮ 18 ⇒
(n + 5) ⋮ cmmmc [12, 18] ⇒ (n + 5) ⋮ 36
12 = 2² · 3¹
18 = 2¹ · 3² ⇒ [12, 18] = 2² · 3² ⇒ [12, 18] = 36
n + 5 = 36
n = 36 - 5
n = 31 cel mai mic număr natural care respectă condițiile problemei
[tex]\it n:12=a\ rest\ 7 \Rightarrow n=12a+7|_{+5} \Rightarrow n+5=12a+12 \Rightarrow n+5\in M_{12}\\ \\ n:18=b\ rest\ 13 \Rightarrow n=18b+13|_{+5} \Rightarrow n+5=18b+18\Rightarrow n+5\in M_{18}\\ \\ \left.\begin{aligned} \it n+5\in\ M_{12}\cap M_{18}\\ \\ \it \ [12,\ 18 ]=36 \end{aligned}\right\} \Rightarrow n+5=36k \Rightarrow n=36k-5\ \ \ \ \ \ (*)[/tex]
[tex]\it a)\ \ 103=108-5=36\cdot3-5 \Rightarrow n=103\ verific\breve a\ enun\c{\it t}ul\\ \\ b)\ \ Pentru\ k=1 \Rightarrow n=36\cdot1-5=31[/tex]
