Răspuns:
4.
a) c.c.t.d.
b) CM + MN + NB = 15 cm
5.
a) c.c.t.d.
b) P = 12√3 cm
6.
a) AM = 2√43 cm
b) tg(α) = ⅗√3 cm
Explicație pas cu pas:
4.
a)
in ∆BCD catetele au lungimile 3 si 4 atunci ii triunghi dreptunghic pitagorean => BD = 5 (cm) ;
folosind teorema lui pitagora in ∆ABD vom afla daca-i dreptunghic ;
13²=12²+5²=144+25=169 ;
e coret, atunci ∆ABD este dreptunghic in B => BD este perpendicular pe AB ;
b)
CM este mediana in ∆BCD, deci prin teorema medianei aflam latura CM ;
CM² = ( 2( 3² + 4² ) - 5² ) / 4 = 25/4 <=> CM = 5/2 (cm) ;
la fel aflam si NB ;
NB² = ( 2( 12² + 5² ) - 13² ) / 4 = 169/4 <=> NB = 13/2 (cm) ;
M si N sunt mijloacele laturilor BD si AD, atunci MN = ½AB = 6 cm ;
obtinem suma lor CM + MN + NB = 5/2 + 13/2 + 6 = 15 (cm) ;
5.
a)
as spune ca e evident ca sunt coliniare, dar in cap imi vine doar asa fel de explicatie ;
trasam segmentul MC. AM ⊥ MC si BM ⊥ MC, iar AM ∩ BM = { M } => A, M si B sunt coliniare ;
b)
in ∆AMS aflam AM prin teorema cosinusului ;
AM² = AS² + MS² - 2*AS*MS*cos(120°)
AM² = 4 + 4 - 2*2*2*( -½ ) = 8+4 = 12
AM = 2√3 (cm) ;
∆ABC este echilateral => P = 6*AM = 12√3 cm ;
6.
a)
in ∆A'B'C' A'M ne seveste ca bisctoare, mediana si inaltime, deci m(<A'MB') = 90°, iar B'M = ½B'C' = 6 cm ;
prin teorema lui pitagora aflam A'M ;
A'M² = A'B'² - B'M² = 144-36 = 108
A'M = 6√3 (cm) ;
ducem proectia punctului M pe planul ABC si primim punctul M' ;
AM' = A'M = 6√3 cm ;
MM' = AA' = 8 cm ;
in ∆AM'M aflam AM prin teorema lui pitagora ;
AM² = AM'² + MM'² = 108+64 = 172
AM = 2√43 (cm) ;
b)
mai pe scurt daca scrim ca m(<A'BM) = α , trebuie sa aflam tg(α), deoarece ca M este proectia lui A' pe planul BCC' ;
in ∆BMB' aflam BM prin teorema lui pitagora si primim BM = 10 cm ;
putem demonstra ca ∆A'MB este dreptunghic ;
A'M ⊥ B'C' , B'C' ⊂ BCC' , BM ⊂ BCC' | => A'M ⊥ BM ;
deci ∆A'MB este dreptunghic in M, adica A'B este ipotenuza ;
stim ca tangenta intr-un triunghi dreptunghic este egala cu cateta opusa catre cea alaturata, rezulta ca
tg(α) = A'M/BM = 6√3/10 = ⅗√3 (cm)
