Răspuns:
Rationalizezi fractiile cu expresia conjugata, adica: la prima fractie amplifici cu
\sqrt{a1} - \sqrt{a2}
a1
−
a2
la a doua cu
\sqrt{a2} - \sqrt{a3}
a2
−
a3
si la ultima cu
\sqrt{an} - \sqrt{an + 1}
an
−
an+1
Dupa ce amplifici, la numitor vei folosi formula (a+b)(a-b)=a^2 - b^2, asa ca la prima fractie vei avea la numitor
{ \sqrt{a1} }^{2} - { \sqrt{a2} }^{2}
a1
2
−
a2
2
asta este egala cu a1-a2, si pentru ca e progresie aritmetica cu termeni pozitivi, si primul termen il scazi pe al doilea care este mai mare, vei avea cu o ratie in minus, asa ca a1-a2=-r, si asta va fi numitorul comun tuturor
\frac{ \sqrt{a1} - \sqrt{a2} }{ - r} + \frac{ \sqrt{a2} - \sqrt{a3} }{ - r} + ... + \frac{ \sqrt{an} - \sqrt{an + 1} }{ - r} = \frac{ \sqrt{a1} - \sqrt{a2} + \sqrt{a2} - \sqrt{a3} + ... + \sqrt{an} - \sqrt{an + 1} }{ - r} = \frac{ \sqrt{a1} + \sqrt{an + 1} }{ - r}
−r
a1
−
a2
+
−r
a2
−
a3
+...+
−r
an
−
an+1
=
−r
a1
−
a2
+
a2
−
a3
+...+
an
−
an+1
=
−r
a1
+
an+1
Aici amplifici cu -1, si vei avea rezultatul final
\frac{ \sqrt{an + 1} - \sqrt{a1} }{r}
r
an+1
−
a1
succes (◍•ᴗ•◍)
