Salut,
Din enunț avem că:
[tex]a+\dfrac{1}b=b+\dfrac{1}c\Rightarrow a-b=\dfrac{1}c-\dfrac{1}b=\dfrac{b-c}{bc}, deci\ a-b=\dfrac{b-c}{bc}\ (1).[/tex]
Similar:
[tex]b+\dfrac{1}c=c+\dfrac{1}a\Rightarrow b-c=\dfrac{1}a-\dfrac{1}c=\dfrac{c-a}{ac}, deci\ b-c=\dfrac{c-a}{ac}\ (2).[/tex]
Tot din enunț avem că:
[tex]c+\dfrac{1}a=a+\dfrac{1}b\Rightarrow c-a=\dfrac{1}b-\dfrac{1}a=\dfrac{a-b}{ab}, deci\ c-a=\dfrac{a-b}{ab}\ (3).[/tex]
Dacă înmulțim relațiile (1), (2) și (3) membru cu membru, avem că:
[tex](a-b)(b-c)(c-a)=\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{a^2b^2c^2}.[/tex]
Cum a, b și c sunt diferite între ele, înseamnă că putem simplifica cu [tex](a-b)(b-c)(c-a)[/tex], care nu poate deci lua valoarea 0 și obținem că:
[tex]1=\dfrac{1}{a^2b^2c^2}\Rightarrow a^2b^2c^2=1\Leftrightarrow |abc|=1,\ ceea\ ce\ trebuia\ demonstrat.[/tex]
Ai înțeles rezolvarea ?
Green eyes.
