Răspuns:
Explicație pas cu pas:
ABCD paralelogram,
Urmează relații numai vectoriale...
AM=(4/3)·AB, BN=(4/3)·BC, CP=(4/3)·CD, DQ=(4/3)·DA.
Tr. să arătăm că MNPQ este paralelogram, adică vectorii MN, PQ coliniari și au același modul, adică au aceeași lungime.
După regula triunghiului, MN=MB+BN=-BM+(4/3)·BC=-(1/3)·AB+(4/3)·BC.
Deci MN=-(1/3)·AB+(4/3)·BC. (1)
PQ=PD+DQ=-DP+(4/3)·DA=-(1/3)·CD+(4/3)·DA, deoarece CD=-AB, DA=-BC, ⇒ PQ=-(1/3)(-AB)+(4/3)·(-BC)=(1/3)·AB-(4/3)·BC=-[-(1/3)·AB+(4/3)·BC] (2)
Din (2),(1), ⇒ PQ=-MN (3) deci vectorii MN și PQ sunt coliniari.
|PQ|=|-MN|=|-1|·|MN|=1·|MN|=|MN|, deci vectorii MN și PQ au module egale, ⇒ MNPQ este paralelogram.
