Presupunem, prin absurd, ca √3 este numar rational. Atunci trebuie sa existe numerele naturale m, n prime intre ele, cu n≠0 astfel incat sa avem
(m si n prime intre ele => m/n este ireductibila)
Rezulta
3=\frac{m^{2}}{n^{2}}\: =>\: m^{2}=3\cdot n^{2} \: =>\: m^{2} \, \vdots \, 3 \: => \: m \, \vdots \, 3
Atunci exista un numar natural p astfel incat sa avem: m = 3p
Rezulta ca
m^{2}=9\cdot p^{2} \: =>\: 3n^{2} = 9p^{2} \: =>\: n^{2}=3p^{2}
Rezulta ca 3 | n
Dar cum 3 divide atat m cat si n => (m, n) = 3 adica nu mai sunt prime intre ele.
Aceasta inseamna ca ni se contrazice presupunearea. Deci, √3 nu poate fi rational.
Sper ca e bine!
