Răspuns:
Explicație pas cu pas:
AO mediană, ⇒ AO=(1/2)·BC=BO=CO,
BD⊥AO, fie BD∩AO={E}. Atunci ΔBAE≡ΔBOE după cateta comună BE și ∡ABE=∡OBE, deoarece BD bisectoare. Deci AE=OE. Dar OE=(1/2)·AO=(1/2)BO, ⇒ BO=AB, ⇒ ΔABO echilateral. Atunci ∡ABC=60°, ∡ACB=30°, ⇒ T∡30°, ⇒ AB=(1/2)BC, ⇒ AB/BC=1/2.
BD bisectoare, ⇒ AD/CD=AB/BC=1/2, ⇒ AD=(1/2)·AC.
ΔADE≡ΔODE după criteriul CC (catetă,catetă). ⇒ DO=AD=√3.
Atunci CD=2·AD=2√3. ⇒AC=AD+CD=√3+2√3=3√3.
Fie AB=x, atunci BC=2x. Din ΔABC, ⇒ BC²=AB²+AC², ⇒ (2x)²=x²+(3√3)², ⇒ 4x²-x²=9·3, ⇒ 3·x²=9·3, ⇒ x²=9, ⇒ x=3=AB. Atunci BC=2·3=6.
Răspuns: AB=3cm, BC=6cm, AC=3√3 cm.
b) Aria(ABOD)=???
CO²+DO²=3²+(√3)²=9+3=12, CD²=(2√3)²=4·3=12, ⇒ CO²+DO²=CD². După TRP, ⇒ ΔCDO dreptunghic în O.
Aria(ABOD)=Aria(ABC)-Aria(CDO)=(1/2)·AB·AC - (1/2)·CO·DO
Aria(ABOD)=(1/2)·(3·3√3 - 3·√3)=(1/2)·2√3=√3 cm².
Răspuns: Aria(ABOD)=√3 cm².
c) ΔABO echilateral, AB e cea mai mică latură în ΔABC.
BE înălțime (mediană) în ΔABO. După Pitagora, ⇒ BE²=AB²-AE²
BE²=3²-(3/2)²=9 - 9/4 = 27/4=(3/2)²·3, ⇒ BE=(3/2)·√3 cm.
Răspuns: 3√3/2 cm.
