Răspuns:
Este! Vezi mai jos și desenul!
Explicație pas cu pas:
M, N, P, Q sunt mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD], [DA]... Deci acestea vor fi linii mijlocii.
Desenăm diagonalele AC și BD ale patrulaterului ABCD. Observăm că: MN e linie mijlocie în ΔABC; PN e linie mijlocie în ΔBCD, PQ e linie mijlocie în ΔADC și MQ este linie mijlocie în ΔABD.
De aici MN şi PQ || AC ⇒ MN || PQ ; PN și MQ || BD ⇒ PN || MQ. Deci MNPQ - paralelogram. Apoi vom arăta că unghiurile sunt de 90°, automat va fi dreptunghi :D
REZOLVARE:
M - mijl. AB, N - mijl. BC ⇒ MN - l.m. în ΔABC ⇒ MN || AC
P - mijl. CD, Q - mijl. AD ⇒ PQ - l.m. în ΔADC ⇒ PQ || AC
Din cele două relaţii rezultă MN || PQ. (a)
M - mijl. AB, Q - mijl. AD ⇒ MQ - l.m. în ΔABD ⇒ MQ || BD
P - mijl. CD, N - mijl. BC ⇒ PN - l.m. în ΔBCD ⇒ PN || BD
Din cele două relaţii rezultă MQ || PN. (b)
Din (a) şi (b) ⇒ MNPQ - paralelogram.
Cum AC ⊥ BD ⇒ MN ⊥ PN, MN ⊥ MQ
Și PQ ⊥ PN, PQ ⊥ QM ⇒
⇒ MNPQ - paralelogram cu ∡ de 90° ⇒
⇒ MNPQ - dreptunghi
Sper că a ajutat răspunsul :)
